Aşağıdaki izostatik sistemin 4 numaralı düğüm noktasının deformasyonunu Virtüel İş Yöntemini
kullanarak elle hesaplayınız.
Çözüm için ipucu
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \large Δ =\int \frac %7BMM%5e'%7D%7BEI%7D $$ |
|---|
|
Yöntem gereği; integral 1-2 ve 2-4 düğüm noktaları arasındaki çubuklar için ayrı ayrı gözönüne alınmalıdır.
Ayrıntılı çözüm
E=Elastisite modülü A=Enkesit alanı I=Enkesit atalet momenti M=Dış yüklemeden kaynaklı eleman üzerinde oluşan moment M'=Birim yüklemeden kaynaklı eleman üzerinde oluşan moment Δ=Deformasyon
1.Adım : Birim Yüklemeye göre Moment Fonksiyonu Bulma
1: Birim yükleme D1, D2, D3: Mesnet tepkileri M12: 1-2 çubuğu 2 D.N moment değeri M24: 2-4 çubuğu 2 D.N moment değeri L12: 1-2 çubuğu boyu L24: 2-4 çubuğu boyu M12(x): 1-2 çubuğu Moment fonksiyonu M24(x): 2-4 çubuğu Moment fonksiyonu ΣM1,dn: 1 D.N göre toplam moment ΣM4,dn: 4 D.N göre toplam moment ΣD: Toplam denge
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣM_1_,_d_n =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_1*(L_1_2+L_2_4_,_y)-1*L_2_4_,_x=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_1*(5+3)-1*4=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_1=0.5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x = D_1 + D_2 = 0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x = 0.5 + D_2 = 0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_2=-0.5 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_y =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_y = D_3 + 1 = 0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_3=-1 $$ |
|---|
|
Image Removed
Image Added| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣM_4_,_d_n =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_1_,_m*L_2_4_,_y+1*L_2_4_,_x+M_2_4=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize -0.5*3+1*4+M_2_4=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize M_2_4=-2.5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣM_1_,_d_n =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_2_,_m*L_1_2_,_y+1*L_1_2_,_x+M_1_2=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize 0.5*5+1*0+M_1_2=0$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize M_1_2=-2.5$$ |
|---|
|
Moment Fonksiyonu :
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize M_1_2(x) = x/2 $$ |
|---|
|
,
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize M_2_4(x) = x/2 $$ |
|---|
|
2.Adım : Verilen Yüklemeye göre Moment Fonksiyonu Bulma
D4, D5, D6: Mesnet tepkileri M'12: 1-2 çubuğu 2 D.N moment değeri M'24: 2-4 çubuğu 2 D.N moment değeri L12: 1-2 çubuğu boyu L24: 2-4 çubuğu boyu M'12(x): 1-2 çubuğu Moment fonksiyonu M'24(x): 2-4 çubuğu Moment fonksiyonu ΣM1,dn: 1 D.N göre toplam moment ΣM4,dn: 4 D.N göre toplam moment ΣD: Toplam denge
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣM_1_,_d_n =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize 54.4=D_4*8$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_4=6.8$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣM_4_,_d_n =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize 17.2*L_2_4_,_x+54.4=L_2_4_,_x*D_5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize 17.2*4+54.4=4*D_5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_5=17.2$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x =0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x = D_5 + D_6 = 0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize ΣD_x = 6.8 + D_6 = 0 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize D_6=-6.8 $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_1_2(L_1_2=5)=6.8*5=34$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_1_2=6.8x$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_2_4(L_2_4=5)=6.8*(3/5)*5=20.4$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_2_4=4.08x$$ |
|---|
|
Moment Fonksiyonu :
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_1_2=6.8x$$ |
|---|
|
,
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize M%5e'_2_4=4.08x$$ |
|---|
|
3.Adım : Önceki Adımlarda bulunan M ve M' Moment Fonksiyonlarının çarpılarak Integralinin Alınması
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ =\int \frac %7BM(x)M%5e'(x)%7D%7BEI%7Ddx $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ = Δ_%7B12%7D + Δ_%7B24%7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ =\int \frac %7BM_%7B12%7DM_%7B12%7D%5e'%7D%7BEI%7D + \int \frac %7BM_%7B24%7DM_%7B24%7D%5e'%7D%7BEI%7D $$ |
|---|
|
1-2 Çubuğu için Integral
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_1_2EI =\int_0%5eL %7B(x/2)6.8x dx%7D$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_1_2EI =\int_0%5e5 %7B(x/2)6.8x dx%7D$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_1_2EI =\int_0%5e5 %7B3.4x%5e2 dx%7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_%7B12%7DEI =\frac %7B3.4x%5e3%7D%7B3%7D \right%7C_0%5e5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_%7B12%7DEI =141.667-0=141.667$$ |
|---|
|
2-4 Çubuğu için Integral
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_2_4EI = -\int_0%5eL %7B(x/2)*(4.08x)dx%7D$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_2_4EI = -\int_0%5e5 %7B(x/2)*(4.08x)dx%7D$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_2_4EI = -\int_0%5e5 %7B2.04x%5e2dx%7D$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_%7B24%7DEI =\frac %7B-2.04x%5e3%7D%7B3%7D\right%7C_0%5e5$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ_%7B24%7DEI =-85+0=-85$$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize ΔEI = Δ_%7B12%7DEI + Δ_%7B24%7DEI = 141.667-85 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize ΔEI =56.667 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize E = 360t/cm%5e2 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize I = (1/12)*(12*12%5e3) = 1728cm%5e4 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize EI = E * I = 360 * 1728 = 622080tf.cm%5e2 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize EI = 622080tf.cm%5e2 = 62.208 tf.m%5e2 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize ΔEI =56.667 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize EI = 622080tf.cm%5e2 = 62.208 tf.m%5e2 %7D $$ |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize Δ =56.667 / EI =56.667/ 62.208 =0.91 m %7D $$ |
|---|
|
4 numaralı düğüm noktasının deformasyonunu = 0.91 m