Mod Birleştirme Yöntemi (Response Spektrum Analizi)

Bu örnekte tek açıklığı bulunan iki katlı bir sistemin mod şekilleri, periyotları ve mod birleştirme yöntemi ile deprem hesabı sonucu bulunan iç kuvvet değerlerinin bağımsız el hesabı sonuçları yapılmış ve ideCAD Statik sonuçları karşılaştırılmıştır. Response spektrum analizinde kullanılan sönüm oranı %5 olarak gözönüne alınmıştır. Mod birleştirme yöntemi olarak Tam Karesel Birleştirme (TKB veya CQC) kullanılmıştır. Modal analiz sonucu hesaplanan periyotlar, yatay yerdeğiştirmeler ve eğilme momentlerinin bağımsız el hesabı çözümleri Chopra 2012 'ye göre yapılmıştır.

Periyotların karşılaştırılması

Response yerdeğiştirme sonuçlarının karşılaştırılması

Eleman uç momentleri karşılaştırması (M₃₃) kip-ft

Geometrik Özellikler ve Sistem Tanımı

Open

Yukarıdaki görselde 1 açıklık bulunan 2 katlı bir sistem tanımlanmıştır. Her bir kat yüksekliği 120 inch ve açıklık 240 inch olarak tanımlanmıştır. Düğüm noktalarının serbestlikleri UX, UY ve RZ yönünde yönündedir ve kütleler yalnızca 1-2 ve 3-4 düğüm noktaları arasındaki elemanlara tanımlanmıştır.

Birinci kat çubuk elemanları (2EI ile gösterilen elemanlar) 24'' (24 inch) genişliğinde ve 10'' yüksekliğinde dikdörtgen kesitlerden oluşmaktadır. Birinci kat çubuk elemanlarının geometrik özellikleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

Birinci kat elemanları alanı A_1.Kat=24*10=240 in²
Birinci kat elemanları atalet momenti I_1.Kat = 2I = (1/12)*(24*10³) = 2000 in⁴
olarak hesaplanır.

İkinci kat çubuk elemanları (EI ile gösterilen elemanlar) 12'' genişliğinde ve 10'' yüksekliğinde dikdörtgen kesitlerden oluşmaktadır. Birinci kat çubuk elemanlarının geometrik özellikleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

İkinci kat elemanları alanı A_2.Kat=12*10=120 in²
İkinci kat elemanları atalet momenti I_2.Kat = I = (1/12)*(12*10³) = 1000 in⁴
olarak hesaplanır.

Kullanılan malzemenin elastisite modülü E = 3000 k/in² ve
kütle değeri m=0.5182 kip-sec²/in
olarak gözönüne alınmıştır.

Eleman eğilme rijitlikleri tanımlanırken atalet momentlerinin oranı kullanılacaktır. Bu durumda birinci kat elamanlarının eğilme rijitlikleri için (2EI), ikinci kat elemanlarının eğilme rijitlikleri için (EI) değerleri kullanılır. Burada E=3000 k/in² ve I = 1000 in⁴ olarak alınır.

Eleman isimleri ve düğüm noktaları numaraları aşağıdaki resimde gösterilmiştir.

Open

Kullanılan Mod Birleştirme Yöntemi 'nde sönüm oranı %5 olarak gözönüne alınmıştır. Yatay elastik tasarım spektrumu (Response spektrum fonksiyonu) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

Kesitler ve yatay elastik tasarım spektrumu tanımlanmış ide dosyasına aşağıdan ulaşabilirsiniz.

Open

Mod Birleştirme Yöntemi

İki katlı örnek sistemin mod birleştirme analizi yapılırken ilk adım olarak kütle ve rijitlik matrislerinin elde edilmesi gereklidir. Rijitlik matrisi elde edilirken aşağıdaki yol izlenmektedir.

Aşağıdaki sistemde 6 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Bu düğüm noktalarından 5 ve 6 numaralı düğüm noktaları ankastre mesnet ile bağlıdır. Sistemde uzama şekil değiştirmeleri de ihmal edildiğinden her düğüm noktası UX yönünde ve RZ yönünde hareket edebilecektir. Uzama şekil değiştirmeleri ihmal edildiğinden 1-2 düğüm noktaları ile 3-4 düğüm noktaları UX yönünde aynı şekildeğiştirmeyi yapacaklardır. Bu koşullar dikkate alındığında toplamda 6 adet serbestlik bulunur. Bu sebeple yapının toplam rijitlik matrisi 6x6 boyutunda bulunur.

Ancak bu sistemde kütlelerin yalnızca UX yönünde hareket edebildiği kabulü yapılmıştır. Bu nedenle kütle matrisi 2x2 boyutunda olmalıdır. Modal analizin yapılabilmesi için kütle matrisi ve rijitlik matrislerinin aynı boyutlarda olması gerekir. Bu nedenle hesap kolaylığı açısında 6x6 boyutunda olan rijitlik matrisi 2x2 boyutuna indirgenerek yatay öteleme rijitlik matrisi oluşturulacaktır.

Rijitlik matrisi oluşturulurken her bir serbestliğin bir birim şekildeğiştirme yaptığında oluşan kuvvetlerden yararlanılabilir. Bu durumda her bir serbestlik için (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆) bir birim şekildeğiştirmesi ile oluşan kuvvetler rijitlik matrislerinin elemanıdır.

Aşağıdaki şekillerde u₁, u₂, u₃ serbestlikleri için birim şekildeğiştirmeler ve oluşan rijitlik matrisi terimleri gösterilmiştir. Benzer işlemler u₄, u₅, u₆ için de uygulanmaktadır.

Düğüm noktalarındaki öteleme (u₁, u₂) ve dönme (u₃, u₄, u₅, u₆) serbestliklerinden oluşan rijitlik matrisi 4 bölüme ayrılabilir. Bu bölümlerin isimlendirmeleri aşağıdaki şekilde yapılabilir.
k_tt: Öteleme serbestliğine birim yükleme yapılmasından ötürü (u₁=1 ve u₂=1) oluşan öteleme rijitliği matrisidir.
k_t0: Dönme serbestliğine birim yükleme yapılmasından ötürü oluşan öteleme rijitliği matrisidir.
k_t0: Öteleme serbestliğine birim yükleme yapılmasından ötürü oluşan dönme rijitliği matrisidir.
k₀₀: Dönme serbestliğine birim yükleme yapılmasından ötürü oluşan dönme rijitliği matrisidir.

İki ucu ankastre bir elemanın öteleme rijitliği değeri aşağıda verilmiştir. Aşağıdaki şekilde u=1 birim öteleme için gerekli olan kuvvet 12EI/L³ şeklinde ifade edilir.

k_tt matrisini bulmak için u₁ = 1 ve u₂ =1 birim yüklemelerinden oluşan yatay öteleme rijitlikler aşağıdaki gibi hesaplanır.

k_t0 = (k_0t)^T matrisini bulmak için u₁ = 1 ve u₂ =1 birim yüklemelerinden oluşan düğüm noktaları rijitlikler aşağıdaki gibi hesaplanır.

k₀₀ matrisini bulmak için u₃ = 1, u₄ =1, u₅ =1 ve u₆ =1 birim yüklemelerinden oluşan yatay öteleme rijitlikler aşağıdaki gibi hesaplanır.

Toplam rijitlik matrisi, k, tüm bu matrisleri bir araya getirerek aşağıdaki gibi yazılabilir.

Görüldüğü üzere rijitlik matrisi, k, 6x6 formatında elde edildi. Ancak kütlelerin yalnızca UX yönünde hareket edebildiği kabulü yapıldığından kütle matrisi 2x2 şeklinde yazılabilir. Bu durumda k matrisi de 2x2 formatına indirgenebilir.

Kütle matrisi de 2x2 formatında aşağıdaki gibi yazılır.

Kütle matrisi m ve bu kütlelerinin hareketine karşılık gelen rijitlik matrisi k' yazıldıktan sonra frekans denkleminin determinantı sıfıra eşitlenerek yapılan eigen vektörleri çözümü ile mod şekilleri ve her bir modun doğal titreşim periyodu bulunabilir.

det(k'-w²m)=0 denkleminin çözümünden iki tane w çözümü bulunur. Bunlar her bir modun açısal titreşim frekanslarını ifade eder. Yukarıdaki denklemde w_n, n 'inci modun açısal frekansı anlamına gelir.

w₁ ve w₂ değerleri bulunduktan sonra u₁ ve u₂ serbestliklerine göre mod şekilleri olan 1. mod şekli ϕ₁ ve 2. mod şekli ϕ₂ bulunabilir.

ϕ₁ ve ϕ₂ mod şekilleri 2x1 boyutunda matrisler biçiminde çıkar. Ancak Eigen vektörleri çözümünün doğası gereği det(k'-w²m)=0 denklemi birinci dereceden lineer bağımlı bir denklemdir. Bu nedenle mod vektörleri birbirlerinin oranı şeklinde ifade edilebilir. Mod vektörlerinin bir elemanına birim değer 1 verilerek diğer elemanı bulunur. Bu sayede mod şekillerinin birbirine oranı da belirlenmiş olur.

E = 3000 k/in² ,
m=0.5182 kip-sec²/in,
I = 1000 in⁴ ve
h=120 in
olarak sistem bilgilerinde verilmiştir. Bu değerler w₁ ve w₂ denklemlerinde yerine yazıldığında,

açısal frekansı değerleri bulunur. Açısal frekanslar bulunduktan sonra her bir modun doğal titreşim periyotları bulunabilir.

Mod şekilleri ve doğal titreşim periyotları bulunduktan sonra her bir mod için düğüm noktası şekildeğiştirme değerlerinin bulunması gerekir.

Bu durumda herhangi bir n ’inci mod için, modal katkı çarpanı, genelleştirilmiş modal kütle ve etkin modal kütlesi sırasıyla aşağıdaki gibi bulunur.

Bu formülleri uyarlandığında birinci mod için,

ikinci mod için,

değerleri bulunur. Bu değerler kullanılarak birinci ve ikinci mod için şekildeğiştirme vektörleri olan d₁(t) ve d₂(t) aşağıdaki gibi bulunur.

d₁(t) ve d₂(t) vektörleri mod şekillerinin u₁ ve u₂ serbestliklerine karşı gelen indirgenmiş değerleridir. Benzer şekilde her bir mod için u₃, u₄, u₅ ve u₆ serbestliklerine karşı gelen indirgenmiş şekildeğiştirme vektörleri d₀₁(t) ve d₀₂(t) aşağıdaki gibi hesaplanır.

Burada T dönüştürme matrisidir. Bu denklemde D_n(t), n’inci titreşim periyodunun tanımlanan yatay elastik tasarım yerdeğiştirme spektrumuna karşı gelen değeridir. Yatay elastik tasarım ivme spektrumundan yerdeğiştirme spektrumuna bir geçiş yapılması gerekmektedir.

Bu noktadan sonra artık Tam Karesel Birleştirme (TKT veya CQC) uygulanabilir. Doğal titreşim periyotlarını T₁=1.562 s ve T₂=0.5868 olarak bulundu.

Yatay elastik tasarım ivme spektrumundan yerdeğiştirme spektrumuna geçiş yapmak için aşağıdaki bağıntı kullanılır.

Bu denklemde D_n(T), n’inci titreşim periyodunun tanımlanan yatay elastik tasarım yerdeğiştirme spektrumu, S_n(T), n’inci titreşim periyodunun tanımlanan yatay elastik tasarım ivme spektrumu, R_y(µ_k,T) TBDY EK 4A 'da tanımlanan Akma dayanımı azaltma katsayısı (Detaylı bilgi için, Bilgilendirme Eki 4A Detaylı Açıklama), T_n 'inci modun doğal titreşim periyodunu ifade etmektedir.

Doğal titreşim periyotlarını T₁=1.562 s ve T₂=0.5868 olan yapının spektrum değerleri S₁(T₁=1.562)=0.576g ve S₂(T₂=0.5868)=1.355g olarak bulunmuştur. Bu durumda yerdeğiştirme spektrumları D₁(T₁) ve D₂(T₂) aşağıdaki gibi bulunur. Burada yerçekimi ivmesi, g=9.81 m/s² = 386.2205 in/s² olarak gözönüne alınmıştır.

Yatay elastik tasarım spektrumu gözönüne alındıktan sonra yapının şekil değiştirmeleri ve iç kuvvet değerlerinin bulunması için Mod Birleştirme Yöntemlerinden biri olan Tam Karesel Birleştirme (TKT veya CQC) uygulanır.

Deprem etkisi altında (X yönü için) 1. kat yatay şekildeğiştirme değeri u_1.kat ve 2. kat yatay şekildeğiştirme değeri u_2.kat Tam Karesel Birleştirme (TKT veya CQC) ile aşağıdaki gibi hesaplanır.

Bu denklemde (u₁)_n n’inci moddaki u₁ yerdeğiştirmesi değeridir ve d₁(T_n) matrisinin birinci elemanıdır. Bu örnekte 2 mod olduğundan CQC denklemi içerisinde 2 adet u₁ terimi bulunmaktadır. Bu sonuçlardan bulunan 1. kat yatay şekildeğiştirme değeri u_1.kat ve 2. kat yatay şekildeğiştirme değeri u_2.kat deprem etkisinden hesaplanan yerdeğiştirme değerleridir. ρ_mn çapraz korelasyon katsayısıdır ve TBDY Denklem 4B.5b 'ye göre %5 sönüm oranı için aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır.

Bu denklemde sönüm oranı ξ=0.05 olarak alınmıştır. β_mn katsayısı m ‘inci ve n 'inci doğal titreşim periyotlarının oranıdır.

Deprem etkisi altında (X yönü için) eleman iç kuvvetleri de benzer şekilde elde edilebilir. Bina moment diyagramı aşağıda anlatılan sıra ile çizilebilir.

Sırasıyla birinci mod ve ikinci modun öteleme ve dönme yerdeğiştirmeleri aşağıda verilmiştir.

Herhangi bir EI rijitliğinde ve L uzunluğunda olan bir çubuk elemanın uç yerdeğiştirmeleri bilindiğinde, bu elemanın uç kuvvetleri bulunabilir. Aşağıdaki şekilde a ve b düğüm noktaları arasında tanımlanan herhangi bir çubuk elemanın uç yerdeğiştirmeleri u_a, u_b, θ_a ve θ_b olarak verilmiştir. Bu değerler kullanılarak çubuğun a düğüm noktasındaki moment değeri aşağıdaki gibi bulunur.

Bu bilgiden yararlanarak her bir mod için bütün çubuk elemanların uç momentleri hesaplanabilir.

Örnek olarak 3-4 düğüm noktaları arasında bulunan kirişin 3 numaraları düğüm noktası ucundaki 1. mod şekli sonucunda oluşan moment değeri hesaplanabilir. Yukarıdaki denkleme a düğüm noktası yerine 3 numaralı düğüm noktasının, b düğüm noktası yerine 5 numaralı düğüm noktasının yerdeğiştirmeleri, θ_a=θ_b=-0.06514 ve u_a=u_b=0 (Z yönünde yerdeğiştirme yok) Bu durumda M_a değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

Yukarıdaki bağıntı için d₁(t), d₂(t), d₀₁(t) ve d₀₂(t) matrisleri kullanıldığında birinci ve ikinci mod şekilleri için eğilme momenti diyagramı aşağıda verilmiştir.

Tam Karesel Birleştirme (TKT veya CQC) uygulandığında elemanlar ve uç momentleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.