Doğrusal olmayan (1) numaralı denkleme geri dönüp u için bir çözüm bulduğumuzu varsayalım. Dış yükleri
çok az miktarda arttırmakla:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7Bf%7D \rightarrow \mathbf%7Bf%7D +d\mathbf%7Bf%7D $$ |
|---|
|
, u çözümü u + w şekline dönüşür. Yeni denge denklemi yazıldığında ve sadece birinci dereceden terimler korunduğunda denklem (1) şu şekilde elde edilir:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize D_uF%5e%7Bint%7D(w) = - \int \limits_%7B\Omega_\chi%7D \left[ ( D_u S(w) : D_u E(v)) + \left (S : D_u%5e2 \, E(v,w) \right ) \right] J_p \, d \Omega_\chi $$ |
|---|
|
Eğer E ile S arasında doğrusal bir gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin olduğu tekrar kabul edilirse:
| Mathinline |
|---|
| body | $$ \normalsize S = C E $$ |
|---|
|
bu şekilde:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize D_uF%5e%7Bint%7D(w) = - \int \limits_%7B\Omega_\chi%7D \left[ ( D_u E(w) : C : D_u E(v)) + \left (S : D_u%5e2E(v,w) \right ) \right] J_p \, d \Omega_\chi \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (3) $$ |
|---|
|
elde edilir. Böylece:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize D_u F%5e%7Bint%7D(w) = -v%5eT \left( \mathbf%7BK%7D%5eI + \mathbf%7BK%7D%5e%7B\sigma%7D \right) w $$ |
|---|
|
ile birlikte:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7BK%7D%5eI = \int \limits_%7B\Omega_\chi%7D \left ( D_uE : C : D_uE\right ) J_p \, d \Omega_\chi & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4) \\ \mathbf%7BK%7D%5e%7B\sigma%7D = \int \limits_%7B\Omega_\chi%7D \left ( S : D_u%5e2 \,E (v,w) \right ) J_p \, d \Omega_\chi & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (5) $$ |
|---|
|
KI , başlangıç rijitlik matrisi olarak adlandırılır ve KL (doğrusal rijitlik matrisi) ile u içindeki bazı doğrusal ve
ikici dereceden terimlerin toplamı olarak yazılabilir: KQ
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7BK%7D%5eI = \mathbf%7BK%7D%5eL + \mathbf%7BK%7D%5eQ $$ |
|---|
|
Kσ, geometrik matris (ya da başlangıç gerilme matrisi) olarak adlandırılır ve doğrusal olarak S'e bağlıdır. Bu matris, gerilme pekleşmesi olarak tanımlanan durumun da sebebini oluşturur çünkü S > 0 olduğunda (ör. σ > 0) genellikle başlangıç rijitlik matrisine bir miktar pozitif ek rijitlik vermektedir. Tüm matris tanjant matrisi olarak adlandırılır ve u yer değiştirme ile S gerilme değerleriyle birlikte büyük ölçüde değişiklik gösterebilir.
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7BK%7D%5eT = \mathbf%7BK%7D%5eL + \mathbf%7BK%7D%5eQ + \mathbf%7BK%7D%5e%7B\sigma%7D $$ |
|---|
|
Yapısal kararsızlık (burkulma) durumu
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize det \left ( \mathbf%7BK%7D%5eT \right) \leq 0 $$ |
|---|
|
det (KT) ≤ 0 olduğunda meydana gelir. Bu karasızlığı tetikleyen yük katsayısı, Newton-Raphson algoritmasının birçok iterasyonuyla bulunabilir. Ancak bu işlem, kararsızlık öncesinde sistemin küçük deplasmanlara ve küçük şekil değiştirmelere maruz kaldığı varsayımıyla daha basit ve hesapsal açıdan daha efektif bir yolla yapılabilir4. Bu durumda KI, KL ile ve Kσ(u) da Kσ ile ifade edilen Kσ(u=0) ile yaklaşık olarak tahmin edilir:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7BK%7D_0%5e \sigma = \int \limits_%7B\Omega_\chi%7D \left ( \sigma : D_u%5e2 \; E_%7Bu=0%7D (v,W)\right ) J_p \, d \Omega_\chi $$ |
|---|
|
Sonuç olarak, genelleştirilmiş özdeğer problemi çözülerek burkulma yük katsayısı, λ değerleri ve ilgili
modlar, Φ bulunur:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--$$ \normalsize \mathbf%7BK%7D%5eL \Phi + \lambda \mathbf%7BK%7D%5e%7B\sigma%7D_0 \Phi = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (6) $$ |
|---|
|
...
4 Bu durum bazen Euler burkulma problemi olarak da adlandırılır. Bunun sadece yapı sisteminin göçme öncesinde küçük şekil değiştirmeler/küçük deplasmanlar tanım alanında kaldığı durumlar için ve sadece ölü yükler etkisinde geçerli olduğu not alınmalıdır.
...