Doğrusal Olmayan Tanjant Rijitlik Matrisi ve Geometrik Rijitlik Matrisi

Doğrusal olmayan (1) numaralı denkleme geri dönüp u için bir çözüm bulduğumuzu varsayalım. Dış yükleri
çok az miktarda arttırmakla: , u çözümü u + w şekline dönüşür. Yeni denge denklemi yazıldığında ve sadece birinci dereceden terimler korunduğunda denklem (1) şu şekilde elde edilir:

Eğer E ile S arasında doğrusal bir gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin olduğu tekrar kabul edilirse:

bu şekilde:

elde edilir. Böylece:

ile birlikte:

K^I , başlangıç rijitlik matrisi olarak adlandırılır ve K^L (doğrusal rijitlik matrisi) ile u içindeki bazı doğrusal ve
ikici dereceden terimlerin toplamı olarak yazılabilir: K^Q

K^σ, geometrik matris (ya da başlangıç gerilme matrisi) olarak adlandırılır ve doğrusal olarak S'e bağlıdır. Bu matris, gerilme pekleşmesi olarak tanımlanan durumun da sebebini oluşturur çünkü S > 0 olduğunda (ör. σ > 0) genellikle başlangıç rijitlik matrisine bir miktar pozitif ek rijitlik vermektedir. Tüm matris tanjant matrisi olarak adlandırılır ve u yer değiştirme ile S gerilme değerleriyle birlikte büyük ölçüde değişiklik gösterebilir.

Yapısal kararsızlık (burkulma) durumu det (KT) ≤ 0 olduğunda meydana gelir. Bu karasızlığı tetikleyen yük katsayısı, Newton-Raphson algoritmasının birçok iterasyonuyla bulunabilir. Ancak bu işlem, kararsızlık öncesinde sistemin küçük deplasmanlara ve küçük şekil değiştirmelere maruz kaldığı varsayımıyla daha basit ve hesapsal açıdan daha efektif bir yolla yapılabilir⁴. Bu durumda K^I, K^L ile ve K^σ(u) da K^σ ile ifade edilen K^σ(u=0) ile yaklaşık olarak tahmin edilir:

Sonuç olarak, genelleştirilmiş özdeğer problemi çözülerek burkulma yük katsayısı, λ değerleri ve ilgili
modlar, Φ bulunur:

⁴ Bu durum bazen Euler burkulma problemi olarak da adlandırılır. Bunun sadece yapı sisteminin göçme öncesinde küçük şekil değiştirmeler/küçük deplasmanlar tanım alanında kaldığı durumlar için ve sadece ölü yükler etkisinde geçerli olduğu not alınmalıdır.