Doğrusal Kabuk Elemanlar

Mekanik Model

Bu elemanlarda membran rijitliği (düzlem içi), eğilme ve enine-kayma rijitliği (düzlem dışı) bulunmaktadır. Küçük-şekil değiştirme/küçük-yer değiştirme esaslı Reissner-Mindlin kabuk teorisini (doğrusal teori)¹⁷ temel almaktadır. Bu teoride, kalınlık boyunca malzeme çizgileri sadece dönme yaparak şekil değiştirme yapmadan düz kalmakta ve enine kayma-şekil değiştirmesine izin verilmektedir (yüzeye dik malzeme çizgileri ile ortalama orta-yüzey arasındaki açı değişebilmektedir).

Bünye denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (izotropik ya da tanjant düzlemi içinde ortotropik). Düzleme dik makaslama gerilmesinin (σ_zz) sıfır kabul edilmesi sebebiyle denklemler düzlem-gerilmesi formunda kullanılır.

Kinematik, Şekil Değiştirmeler ve Gerilmeler

Bu elemanların her noktasında altı serbestlik derecesi bulunmaktadır (global eksen bazlı 3 yer değiştirme:
Ux, Uy, Uz ve 3 dönme: Rx, Ry ve Rz)¹⁸.
Şekil değiştirme/gerilme tensörleri (küçük şekil değiştirme teorisi) elemanın tanjant düzleminde tanımlanmıştır (her tümleştirme noktasında). Enine kayma terimleri düzgün yayılı kabul edilirken, düzlem içi terimler kalınlık boyunca doğrusal olarak değişiklik göstermektedir. Her düzlem-içi şekil değiştirme terimi, bir düzgün bölüme (membran terimi) ve merkezinde boş değer olan bir doğrusal terime (eğilme terimi) ayrıştırılırlar.

Bir elemanın içindeki normal doğrultmanı, iki tanjant vektörün çapraz çarpımı sonucuyla tanımlanan gerçek normaldir. Bu tanımlama, noktalardaki normalleri oluşturur ve bu şekilde elemanlar arasında süreksiz olan normal doğrultmanları elde edilir (kabuk eğrisel olduğunda). z koordinatı bu doğrultman boyuncadır.

Normal gerilmelerin sıfır olması kabulü sebebiyle (σ_zz = 0), makaslama enerjisi de sıfır kabul edilir ve
düzleme dik şekil değiştirme ihmal edilebilir (ε_zz değeri 0 olur).

Gerilme tensörü ile şekil değiştirme tensörü arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayımıyla:

gerilme bileşenleri şu şekilde de yazılabilir¹⁹:

Sonuç gerilmeler aslında bileşke gerilmelerdir (kalınlık boyunca entegre edilmiş). Bileşke gerilmeler²⁰ şu şekildedir:

z = 0 yüzeyi sonlu elemanlar yüzeyi ile tanımlanmaktadır. Membran-eğilme eşleştirmesine olanak sunan
orta-yüzeyin kaçık olması durumuna izin verilmektedir. Bu durumda z = 0 yüzeyi tarafsız yüzeyle eşdeğer olmamaktadır. Kaçıklık olmadığı durumda her iki yüzey de aynı olarak varsayılır²¹.

Kaçıklık Tanımlı Olmayan Kabuk (Simetrik Kabuk)

Open

Bu durumda bileşke gerilmeler şu şekilde indirgenir:

ile birlikte²²:

Open

Bu durumda sonuç gerilmeler²³ şu şekildedir:

ile birlikte²⁴:

z' = z – z₀ koordinatının tarafsız yüzeyde merkezlenmiş olduğu düşünülürse: z' koordinatında gerilme,
tarafsız yüzeydeki M' momentumu ile birlikte şu şekildedir (α ve β değerleri x ya da y değerlerine eşit):

Bu nedenle, z koordinatı içinde (eleman yüzeyinde merkezlenmiş olarak) gerilme şu şekilde yazılır:

Bu, kabuk elemanın üst ve alt dış yüzeyleri için şu sonucu verir (x ve y koordinatları dahil edilmediğinde):

Geometri

Bu elemanların düzgün yayılı kalınlığı ve kaçıklıklığı bulunmaktadır (değişkenlik yoktur ancak elemanlar arasında kalınlık ve kaçıklık değeri farklı olabilir). Plak model içerisindeki bütün elemanlar model tanımı içindeki düzlemin içerisinde yer almalıdır. İkinci dereceden T6 ve Q9 elemanları eğrisel olabilir.

Yükler

Mekanik yükler (KUVVET ve MOMENTUM), noktasal, düzgün yayılı, trapezoidal ya da basınç yükü olabilir.
Plak modelde yükün yalnızca düzleme dik bileşeni (KUVVET yükü için) etkilidir. Düzlem-içi bileşenler
herhangi bir etki yaratmamaktadır. Bir MOMENTUM yükü için bu durumun tam tersi olmaktadır.
Isıl yükler her bir eleman üzerinde kalınlık boyunca sıcaklığın doğrusal değiştiği şekilde sadece düzgün
yayılı halde olabilir (bir miktar ısıl eğilme şekil değiştirmeleri oluşturarak).

Notlar

• Q4YÜZLÜ plak elemanı, kilitlenme durumuna karşı özel bir enine-kayma entegrasyonuna sahiptir. Kullanılan formül genellikle Q4ANS ya da Q4γ [BAT] olarak anılmaktadır. Q9YÜZLÜ plak elemanı da kilitlenme durumuna karşı özel bir enine-kayma entegrasyonuna sahiptir [HUA].

• Düşük dereceli elemanlar için (T3 and Q4), basit-mesnetli veya kenetlenmiş sınırlar yakınında eninekayma gerilmesi düzensiz görünebilir. Bu durum reaksiyonların da düzensiz olmasına sebep olur. Bu sınırlar yakınında daha sık bir sonlu elemanlar ağı ya da daha yüksek dereceli elemanların (T6 and Q9) kullanımı çözümü iyileştirebilir.

• Plak elemanın kütlesi ve sönüm değeri yoktur.

¹⁷ Büyük-şekil değiştirme/büyük-yer değiştirme teorisine dayanan geometrik rijitlik matrisi hariç.
¹⁸ Düz sonlu elemanlar ağı durumunda ve sıfır burulma rijitliğinden (normal etrafında dönme) kaçınmak amacıyla dönme alanı için bu doğrultuda küçük bir yapay rijitlik eklenmiştir.

¹⁹ Burada enine kayma şekil değiştirmeleriyle düzlem-içi gerilmeler arasında bir eşleşmenin olmadığı bünye denklemleri kabul edilmiştir (bir Hooke yasası gibi). Aksi halde gerilme bileşenlerine bir terimi eklenmelidir.

²⁰ M olarak belirtilen eğilme momentumu terimlerinin gerçek moment olmadığı not alınmalıdır. M bir tensördür.

²¹ Kabuk eğrisel olduğu durumda bu tam olarak doğru değildir. Eğrilik, gerilme-şekil değiştirme ilişkisine ek bir kaçıklık ve eşleştirme getirmektedir. Bu etki ihmal edilmektedir.

²² Kullanıcı tarafından bünye denklemlerinde m, b ve G için farklı değerler tanımlanabilmektedir.
²³ Kaçıklıkla birlikte F tensörünün kabuğun orta-yüzeyindeki ortalama gerilme (h ile çarpılmış) olarak da tariflenebilecek
gerilme olduğu not edilmelidir (elemanın z = 0 yüzeyindeki gerilme değil).
²⁴ Kullanıcı tarafından bünye denklemlerinde m, b, mb ve G için farklı değerler tanımlanabilmektedir.