Mod Şekilleri ve Modal Titreşim Periyotları

Simgeler

m_i  = i 'inci katın toplam kütlesi
m_iθ  = i 'inci katın kütle eylemsizlik momenti
m_j^(S) = Tipik sonlu eleman düğüm noktası j'ye etkiyen tekil kütle
UX = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( X ) yönünde yaptığı öteleme
UY = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( Y ) yönünde yaptığı öteleme
UZ = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( Z ) yönünde yaptığı öteleme
RX = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( X ) ekseni etrafında yaptığı dönme
RY = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( Y ) ekseni etrafında yaptığı dönme
RZ = Üç boyutlu analiz modelinde düğüm noktasının ( Z ) ekseni etrafında yaptığı dönme

Çok Serbestlik Dereceli Sistemlerin Dinamik Davranışları

Bir yapı sisteminin serbestlik derecesi, hareket halindeki sistemin konumunu belirlemek için gerekli bağımsız değişkenlerin sayısıdır. Eğer bu bağımsız değişkenlerden birden fazlasının bilinmesi gerekiyorsa bu sistemler çok serbestlik dereceli sistemlerdir. Üç boyutlu dinamik analiz uygulamasında çok serbestlik dereceli sistemler kullanılır ve x,y ve z eksenleri doğrultularındaki yerdeğiştirmeler ve bu eksenler etrafındaki dönmeler olmak üzere 6 bağımsız değişken gözönüne alınır. Gerçekte tüm sistemler sürekli kütlelerden oluşur. Ancak sonlu elemanlar ile dinamik analiz yapılırken kütleler eleman düğüm noktalarında toplandığı kabul edilir.

Open

Çok serbestlik dereceli sistemlerin dinamik davranışları aşağıdaki diferansiyel denklem takımı ile ifade edilir. Bu denklem aynı zamanda hareket denklemi olarak da isimlendirilir.

Burada , , sırasıyla ivme, hız ve yerdeğiştirme vektörlerini, {p(t)} yük vektörünü, [m], [c], [k] kütle, sönüm ve rijitlik matrislerini göstermektedir.

Kütle matrisi [m], rijit diyafram ve yarı rijit diyaframlı sistemlerde farklılık gösterir. Tam rijit diyafram ile çözülen sistemlerde kütleler kat ağırlık merkezinde toplanarak dinamik analiz yapılmaktadır. Aşağıdaki resimde tam rijit diyafram ile çözülen bir yapının 1. mod şekli bulunmaktadır. Tam rijit diyafram ile dinamik analiz yapılan sistemde şekilde de görüldüğü gibi kütleler kat ağırlık merkezinde toplanmıştır.

Open

Tam rijit diyafram ile çözülen sistemlerde kütleler kat ağırlık merkezinde toplanarak dinamik analiz yapılmaktadır. TBDY 4B.1.3(a) maddesinde belirtilen m_i değeri kat ağırlık merkezinden toplanan kütleleri ifade etmektedir. herhangi bir i’inci kat döşemesinin kütle merkezinde x ve y yatay doğrultularında tanımlanan yerdeğiştirmeler ile kat kütle merkezinden geçen düşey eksen etrafındaki dönme dikkate alınmış ve bu serbestlik derecelerine karşı gelen kat kütlesi m_i ile kat kütle eylemsizlik momenti m_iθ tanımlanmıştır. Yukarıdaki şekilde tam rijit diyafram ile dinamik analiz yapılan sistemde kat ağırlık merkezinde toplanan kütleler, TBDY 4B.1 'de anlatılan m_i terimini ifade eder.

Yarı rijit diyafram ile çözülen sistemlerde kütleler sonlu elemanların düğüm noktalarında tanımlanır ve dinamik analiz yapılır. Aşağıdaki resimde yarı rijit diyafram ile çözülen bir yapının 1. mod şekli bulunmaktadır.

Yarı rijit diyafram ile dinamik analizi yapılan sistemlerde kütleler sonlu elemanların düğüm noktalarında tanımlanmıştır. TBDY 4B.1.3(b) maddesinde belirtilen m_i değeri, kat döşemelerinin rijit diyafram olarak alınması durumunda kat ağırlık merkezinde toplanan kütle değerine karşılık gelmektedir. TBDY 4B.1.3(b) maddesinde belirtilen m_j^(S) değeri ise kat döşemelerinin kendi düzlemleri içindeki yerdeğiştirmelere ilişkin serbestlik derecelerini içeren iki boyutlu sonlu elemanlar ile modellenen elemanların düğüm noktalarında tanımlanan kütlelerdir. m_j^(S) terimindeki j indisi her bir düğüm noktası için kullanılmaktadır ve aşağıda gösterilen analiz modelindeki düğüm noktalarına karşılık gelmektedir.

Mod Şekilleri ve Modal Titreşim Periyotları

Bir yapı sisteminin mod şekilleri ve titreşim periyotları, dış yükün olmadığı sönümsüz serbest titreşim durumundaki hareket denklemi çözümünden elde edilir. Bu durumda hareket denkleminde sönümün ve dış yükün olmadığı durum aşağıdaki gibi ifade edilir.

Serbest titreşim hareketi basit harmonik bir harekettir ve sinüs fonksiyonu ile ifade edilir. Bu durumda yerdeğiştirmeler {x} aşağıdaki denklem ile elde edilir.

Bu denklemde {A} hareketin genlik vektörünü ve ω açısal frekansı göstermektedir. {x} denkeleminin zamana göre ikinci türevi ile denklemi elde edilir ve bu matris ivme değerlerini göstermektedir.

{x} denkeleminin zamana göre ikinci türevi sönümüm ve dış yükün olmadığı hareket denklemi içerisinde yerine yazılırsa aşağıdaki gibi bir özdeğer problemi elde edilir.

Elde edilen homojen lineer denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün olması ancak katsayılar matrisinin determinantının sıfır olması ile mümkündür.

Yukarıdaki determinantın açılımı yapıldığında i. dereceden bir polinom elde edilir. Bu polinomun kökleri ω² özdeğerlerini verir. Bulunan her bir özdeğerin denklemde yerine yazılması ile her bir mod için özvektörler {Φ} bulunur. Herhangi bir n 'inci mod için aşağıdaki denklem sağlanmalıdır.

Sonuç olarak çok serbestlik dereceli bir sistemde çözüm sonucu serbestlik derecesi kadar açısal frekans ω_n ve karşı gelen mod şekli {Φ_n} elde edilir. Mod şekli sistemin ilgili frekansla titreşimi sırasında aldığı konumu gösterir. n 'inci mod için titreşim periyodu T_n ile açısal frekans arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. Dinamik analiz sonucunda elde edilen periyot değerleri bu şekilde elde edilir.

Herhangi bir titreşim modunda yerdeğiştirmeler, aralarındaki oran sabit kalmak koşulu ile herhangi bir değeri alabilir. Mod vektörleri, hem kütle matrisine hem de rijitlik matrisine göre ortogonallik özelliği gösterir. Bu özellik kullanılarak herhangi bir modda en büyük genlik birim değer alınarak aynı moddaki diğer genlikler de en büyük genliğe oranlanarak ilgili modun normalize işlemi yapılmaktadır.

TBDY 4B.1 'de anlatılan Modal Hesap Parametreleri hesaplarında bu normalize edilmiş mod şekil vektörleri kullanılır. Aşağıdaki resimde örnek bir yapının dinamik analiz sonucunda bulunan mod şekillerinin deformasyon sonuçları gösterilmiştir. Bu değeler aynı zamanda normalize edilmiş mod vektörleri değerleridir. Yarı rijit diyafram çözümü yapıldığından her bir düğüm noktasındaki şekildeğiştirme mod vektörünün bir elemanına karşılık gelmektedir.

Mod şekillerinde bulunan şekildeğiştirmeler aralarındaki oran sabit kalmak üzere herhangi bir değeri alabilmektedir. Bu sebeple mod şekillerinde hesaplanan şekildeğiştirmeler tasarımda kullanılamaz yalnızca yapının ilgili modundaki titreşim durumunda alacağı şekli gösterebilir. Deprem etkisinin doğru bir şekilde gözönüne alınması için hesaplanan bu mod şekilleri Yatay Elastik Tasarım Spektrumu ile birlikte Mod Birleştirme Yöntemi içerisinde kullanılır.

ideCAD Statik 'te yapılan modal analiz sonucunda modal analiz için kullanılan kütleler, her bir mod için hesaplanan doğal titreşim periyotları, açısal frekans değerleri Modal Analiz Raporu 'nda incelenebilir.